Вершина параболы

Что такое вершина параболы

Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:

\(\lbrack\frac{-b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a}\rbrack\)

Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.

Вывод формулы координат вершины параболы

Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:

\(y\;=\;ax^2\;+\;bx\;+\;c\)

Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y. 

Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:

\(y\;=\;f(x\;+\;l)\;+\;m\)

Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть \(\left(a+b\right)^2\) преобразуют в \(a^2+2ab+b^2.\)

Функции вида \(y\;=\;f(x\;+\;l)\;+\;m\) отличаются от \(y\;=\;f(x)\) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:

\(\frac{-b}{2a}, а \frac{\left(4ac-b^2\right)}{4a}\)

Получается, что l и m — это координаты x₀ и y₀.

Приведем доказательство:

1. Соединяем первые два члена многочлена: \(y\;=\;(ax^2\;+\;bx)\;+\;c.\)
2. Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: \(y=a\left(x^2+\frac bax\right)+c.\)
3. Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен \(\frac bax\) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: \(y=a\left(x^2+2\frac b{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c.\)
4. Выделяем квадрат суммы: \(y=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}\right)+c.\)
5. Умножаем на a: \(y=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c.\)
6. Приводим свободные члены к общему знаменателю: \(y=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2+4ac}{4a}.\)
7. Меняем знак: \(y=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{b^2-4ac}{4a}.\)

Мы привели функцию \(y\;=\;ax^2\;+\;bx\;+\;c\) к виду \(y\;=\;a{(x\;+\;l)}^2\;+\;m,\) что соответствует \(y\;=\;f(x\;+\;l)\;+\;m,\) где \(f(x)\;=\;ax^2. \)

Как найти координаты, основные способы

Существует несколько способов нахождения координат ВП:

1. \(x_0=\frac{-b}{2a}\) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
2. \(y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a}\) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
3. \(x_0=\frac{x_1+x_2}2\) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
4. Если функция имеет вид \(y=a\left(x-x_0\right)^2+y_0\), то в ее вершиной совпадают координаты \(\left(x_0;y_0\right).\)

Примеры решения задач

Задача №1

Найти вершину параболы для уравнения: \(y=x^2-5x+7.\)

Решение: В выражение \(x=-\frac b{2a}\) подставляем известные числа и получаем \(x=\frac52=2,5\). Теперь подставляем x в исходное уравнение: \(2,5^2-5\times2,5+7=0,75.\)

Ответ: (2,5; 0,75).

Задача №2

Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).

Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.

Подставляем и получаем: \(x_0=\frac{x_1+x_2}2=\frac{1+\left(-7\right)}2=-3.\)

Второе: \(y_0=5\times\left(-3-1\right)\left(-3+7\right)=-80.\)

Ответ: (-3; -80). 

Задача №3

Найти вершину параболы для уравнения: \(y=x^2-7x+3 \).

Решение: \(х_0=-\frac b{2a}=-\frac{\left(-7\right)}{2\times1}=3,5.\)

Второе: \(y_0=3,5^2-7\times3,5+3=-9,25.\)

Ответ: (3,5; -9,25).