Какие числа называют взаимно простыми

Что значит взаимно простые числа

В окружающем нас мире и на уроках в школе люди постоянно оперируют различными числами. С их помощью выражают значения физических параметров, соотносят какие-либо величины между собой, дают характеристику объектам и явлениям. К примеру, уровень знаний ученика определяют путем выставления балла по заранее заданной шкале. Подобные способы оценки применяют повсеместно.

Ярким примером применения числовой шкалы является проведение различных социальных или маркетинговых опросов. Без чисел сложно представить жизнь и науку. При этом используют не только ряд о единицы до десятки, но и различные виды значений. В зависимости от характера решаемых задач подбирают тот или иной формат представления характеристик, данных, информации.

В числе областей хозяйственной деятельности, которые не обходятся без исчислений, присутствует индустрия информационных технологий, в частности, написание программного кода. В математике существуют множества чисел. При решении задач можно встретить величины, которые имеют целые или дробные значения, или, к примеру, являются иррациональными.

Если в перечисленных понятиях необходимо разбираться, то с простыми числами вопросов, как правило, не возникает.  Однако термин не распространяется на все числа, с которыми человек сталкивается в повседневной жизни, ожидая трамвай нужного маршрута, проверяя таймер или баланс денежного счета. С целью исключить путаницу и подмену понятий лучше в первую очередь начать с терминологии.

В качестве типичного примера простого числа допустимо записать 13. Дело в том, что данное число является простым, а доказать это совершенно не сложно. Если проанализировать значение, то можно заметить возможность деления 13 на 1 или на 13. При поиске результата от частного 13 и других чисел получим результат с остатком. Из примера становится понятно, что простых чисел довольно мало, так как превалирующая часть числового множества делится на прочие числа нацело.

Важно помнить об отсутствии остатка в результате подобного деления. Когда со свойствами простого числа все стало понятнее, можно приступить к рассмотрению вопроса о взаимно простых числах. Данное определение распространяется не только на пары чисел, но и на большее количество подобных значений. Приведем ниже расшифровку термина.

Исходя из вышесказанного, стоит отметить, что взаимно простыми числами допустимо называть те, которые обладают единственным общим делителем со значением, равным единице. Подобная формулировка не менее важна, чем основная расшифровка термина, так как в распространенных случаях позволяет оперативно идентифицировать простейшие числовые значение в числовых последовательностях и совокупностях.

Свойства и признаки

Резюмируем, что при отсутствии каких-либо общих максимальных делителей у чисел, кроме единицы, такие числа допустимо считать взаимно простыми. Важно запомнить этот признак и уметь оперировать им в процессе решения задач. Однако задания на взаимно простые числа не всегда обладают очевидным способом поиска ответа.

Нередко встречаются примеры, где расчеты стоит начать со сложных математических преобразований для привидения чисел в нужных формат, который позволит выполнить сравнение или сделать вывод о том, что они взаимно простые. При этом можно упростить вычисления с помощью свойств, которыми обладают данные числа. Перечислим основные из них:

1. Числа из множества натуральных, которые являются взаимно простыми с некоторым натуральным числом n, допустимо задать с помощью функции Эйлера \(\varphi (n).\)
2. Числа a и b идентифицированы как взаимно простые лишь при существовании целых х и у с условием, что ax+by=1 (соотношение Безу).
3. При наличии взаимно простых чисел а и b допустимо говорить о том, что взаимно просты следующие числа \(2^{a}-1 и 2^{b}-1\). Данное утверждение верно и в обратную сторону.
4. При наличии а в роли делителя умножения bc, являющегося взаимно простым числом для b, допустимо говорить о том, что а является делителем с.
5. При условии, что d= НОД (a,b) числа \(\frac {a}{d} и \frac {b}{d}\) являются взаимно простыми.
6. Дробь не представляется возможным сократить при наличии в числителе и знаменателе взаимно простых чисел.
7. Когда имеется пара взаимно простых чисел а и m, сравнение \(ax\equiv b{\pmod {m}}\) для любого b обладает лишь одним решением по модулю m.
8. В том случае, когда пара целых чисел a и b определена как взаимно простые, справедливо следующее равенство: НОД (a⋅c, b)=НОД (c, b).

Как доказать, что числа взаимно простые

Стоит отметить, что применительно к большему количеству чисел важно помнить о взаимной простоте попарно простых чисел. Обратное утверждение уже будет неверным. В математике нередко встречаются задания на доказательство попарной и взаимной простоты каких-либо чисел. В процессе решения таких задач целесообразно использовать признаки и свойства, которые были изучены в теоретическом курсе ранее. Существуют еще важные условия, с помощью которых достаточно просто подтвердить или опровергнуть принадлежность заданных чисел к той или иной категории.

Кроме того, для произвольного b из множества целых чисел справедливо следующее математическое соотношение:

\(НОД (a_{1}\cdot a_{2}\ldots a_{n},b)= НОД (a_{1},b) НОД(a_{2},b) … НОД(a_{n},b),\)

где НОД обозначает максимальный общий делитель для рассматриваемых чисел.

Таблица взаимно простых чисел

Упростить работу с взаимно простыми числами поможет табличная форма, изображенная ниже. Подобный инструмент полезен при решении задач, когда требуется выполнить разнообразные вычисления, сравнить простые числа, доказать их взаимную или попарную простоту. Пользоваться таблицей несложно. В любой из клеток расположен максимальный общий делитель ее координат, и соответствующие взаимно простым парам координат единицы выделены темным.

 

Источник: ru.wikipedia.org

Задачи

Полученные знания и ценную информацию можно применять на практике. Попробуем справиться с решением нескольких типичных примеров. В процессе необходимо руководствоваться стандартным алгоритмом действий. На первом шаге полезно внимательно прочитать условия задания. После того, как сформировано представление о том, какой ответ требуется получить, можно приступать к разработке плана действий. Как правило, первоначальный анализ на возможность применения признаков, свойств или табличных значений существенно упрощает дальнейшие расчеты. В связи с этим, озвученным пунктом нельзя пренебрегать. Рассмотрим основные приемы для работы с простыми числами.

Решение

В данном случае целесообразно воспользоваться табличной формой. Заметим, что в таблице указанные в условии задачи числа отсутствуют. По этой причине нужно обратиться к следующему методу доказательства, а именно, вычисления максимального общего делителя. Рассчитать искомое значение несложно с применением правила Евклида. Выполним пошаговые действия:

\(275 = 84 \cdot 3 + 23\)

\(84 = 23 \cdot 3 + 15\)

\(23 = 15 \cdot 1 + 8\)

\(15 = 8 \cdot 1 + 7\)

\(8 = 7 \cdot 1 + 1\)

\(7 = 7 \cdot 1\)

В результате получим, что максимальный общий делитель для пары чисел, состоящей из 84 и 275, обладает значением, равным единице. Таким образом, выполнено условие, характерное для взаимной простоты пары чисел.

Ответ: подтверждено, что 84 и 275 представляют собой пару взаимно простых чисел.

Решение

Согласно информации, предоставленной в таблице простых чисел, 331, 463 и 733 представляют собой простые числа. Это позволяет сделать вывод о наличии для рассматриваемой тройки чисел лишь одного общего делителя со знаком плюс. Таким делителем является 1. В результате при выполнении перечисленных условий допустимо говорить о взаимной простоте исследуемых чисел.

Ответ: 331, 463, 733 относятся к категории взаимно простых чисел.

Решение

Вычислим для рассматриваемых числовых пар максимальный общий делитель, значение которого не должно совпадать с 1. С помощью свойства делителей для отрицательных и положительных чисел сформулируем следующее равенство:

НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91)

Выполним дальнейшие вычисления:

НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7

Ответ: представленные в условии задания числа не являются взаимно простыми, так как их общий делитель отличен от единицы.

Таким образом, путем несложных вычислений и действенных приемов удалось справиться с тремя задачами. Заметим, что решение типовых примеров достаточно компактны и не занимают много времени. Это связано с корректным составлением алгоритма действий и умением применять свойства и табличные значения, характерные для простейших чисел, в практических условиях.