Все про вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности

Рассмотрим наглядный пример:

На рисунке изображена окружность с центром, обозначенным как О. Радиус этой окружности равен R. Она описана около многоугольника с пятью углами ABCDE, который по определению является вписанным. Заметим, что в точке О пересекаются серединные перпендикуляры к граням ABCD, то есть:

\(AP = PE,OP \bot AE\),

\(AM = MB,OM \bot AB\),

\(BN = NC,ON \bot BC\),

\(CL = LD,OL \bot CD\),

\(DK = KE,OK \bot DE\).

Здесь точка О расположена на одинаковом расстоянии от вершин пятиугольника. Рассмотреть это можно на рисунке:

Точка О удалена от каждой из вершин пятиугольника на расстояние, которое равно радиусу описанной окружности:

OA=OB=OC=OD=OE=R.

Заметим, что около любого треугольника, допустимо описать окружность.

Рассмотрим пример вписанной в многоугольник окружности:

Центр окружности обозначен точкой О, а радиус равен r. Данная окружность вписана в многоугольник с пятью углами ABCDE, который по определению является описанным. В точке О пересекаются биссектрисы геометрической фигуры ABCD, то есть:

\(\angle EAO = \angle BAO\),

\(\angle ABO = \angle CBO\),

\(\angle BCO = \angle DCO\),

\(\angle CDO = \angle EDO\),

\(\angle AEO = \angle DEO\).

Точка О находится на одинаковом расстоянии от каждой из точек касания. Точка О удалена от каждой стороны на величину радиуса:

OK=OL=ON=OM=OP=r.

Вершины многоугольника ABCDE расположены на одинаковом расстоянии от точек касания, которые им соответствуют:

AM=AN,

BN=BL,

CL=CK,

DK=DP,

EP=EM.

Вписанная в какой-то описанный многоугольник окружность имеет радиус, равный:

\(r = \frac{S}{p}\)

Здесь S обозначает величину площади, которой характеризуется многоугольник, p является полупериметром этого многоугольника.

Соотношения радиусов вписанной и описанной окружности можно выразить с помощью формулы Эйлера. Таким образом, при d, равном расстоянию между центральными точками вписанной и описанной окружностей, имеющими радиусы r и R соответственно, справедливо следующее соотношение:

\(d^{2}=R^{2}-2Rr.\)

Существует несколько формул, согласно которым можно сформулировать отношения и произведения радиусов рассматриваемых окружностей:

\({\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1,\)

\(2Rr={\frac {abc}{a+b+c}},\)

\({\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1.\)

Здесь p обозначает полупериметр треугольника, а S является его площадью.

Заметим, что если опустить перпендикуляры к сторонам треугольника в точки касания вписанных окружностей, то эти прямые будут обладать единственной точкой пересечения. Данная точка симметрична центру вписанной окружности по отношению к центральной точке описанной окружности.

Теоремы вписанной и описанной окружности, свойства

Вписанная в многоугольник окружность касается каждой из его сторон. Ее центральная точка находится во внутренней области многоугольника. В качестве примера приведем окружность и два многоугольника:

Здесь четырехугольник АВСD является описанным около окружности, центр которой обозначен точкой О. Четырехугольник АЕКD нельзя назвать описанным, так как одна из его сторон ЕК не является касательной к окружности.

Докажем данную теорему на примере некого треугольника АВС. Для этого построим биссектрисы углов А, В и С, пересекающиеся в точке О, что является следствием свойства биссектрис. Опустим из центра О перпендикуляры к сторонам АВ, ВС и СА и обозначим их ОК, ОL и ОМ.

Заметим, что центр О находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольника АВС по свойству биссектрис. Таким образом:

ОК = ОL = ОМ

В результате, окружность с центральной точкой О и радиусом, равным ОК, обладает точками К, L и М. Стороны треугольника АВС являются касательными к данной окружности, а точки касания соответствуют К, L, М, исходя из их перпендикулярности радиусам ОК, ОL и ОМ.

Следовательно, окружность с центром О и радиусом, равным ОК, вписана в треугольник АВС. В итоге теорема доказана.

Из рассматриваемой теоремы о вписанной окружности вытекает несколько следствий. Рассмотрим их детально.

В качестве доказательства этого утверждения, предположим, что в какой-то треугольник допустимо вписать две окружности. В таком случае их центральные точки расположены на одинаковом расстоянии от граней треугольника и в результате совпадают с центральной точкой О, в которой пересекаются биссектрисы углов треугольника.

Радиус окружностей можно вычислить, как расстояние от точки О до сторон треугольника. Можно сделать вывод о том, что рассматриваемые окружности совпадают, и в треугольник допустимо вписать единственную окружность.

Вернемся к последнему рисунку. Треугольник АВС можно условно поделить на три треугольника:

АВО;

ВСО;

САО.

Предположим, что АВ, ВС и АС являются основаниями перечисленных треугольников. В таком случае:

ОК = ОL = ОМ = r

Здесь r обозначает радиус окружности с центральной точкой О. Тогда:

Исходя из свойства площадей:

Тогда АВ + ВС + АС = Р, то есть периметру треугольника. Следствие доказано.

В качестве примера рассмотрим четырехугольник, являющийся прямоугольником:

Рассмотрим следующий четырехугольник и вписанную в него окружность:

Отрезки касательных к окружности, которые проведены из одной точки, являются равными друг другу. В таком случае:

АВ + CD = a + b + c + d

ВС + АD = a + b + c + d

Тогда:

АВ + CD = ВС + АD

Предположим, что в некотором четырехугольнике АВСD:

АВ + СD = ВС + АD

Построим окружность:

Когда окружность касается также стороны CD, она будет вписана в четырехугольник. В противном случае CD является секущей, либо не обладает общими точками с окружностью. Построим параллельную ей прямую.

Заметим, что АВС1D1 является описанным четырехугольником, поэтому:

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1

С другой стороны:

ВС1 = ВС - С1С

АD1 = АD - D1D

В результате:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АD – АВ

Выражение слева равно CD, таким образом:

С1D1 + С1С + D1D = СD

Получается, что какая-то сторона в четырехугольнике равна трем другим сторонам в сумме. Это противоречит свойству четырехугольника и является ошибочным утверждением. Аналогичным способом можно представить доказательства того, что CD не является секущей к окружности. Тогда рассматриваемая окружность касается стороны CD.

Вписанная окружность обладает следующими свойствами:

1. Биссектрисы внутренних углов описанного многоугольника пересекаются в центре окружности, которая вписана в данный многоугольник.
2. В какой-либо треугольник допустимо вписать не более одной окружности.
3. Вписанная окружность имеет радиус, который вычисляется как отношение площади описанного треугольника к его полупериметру.
4. Вписать окружность можно исключительно в выпуклый четырехугольник.
5. Допустимо вписать окружность в выпуклый многоугольник с четырьмя углами при условии, что суммы его противоположных сторон одинаковы.

Вписанный в окружность многоугольник обладает вершинами, которые лежат на описанной около него окружности. В качестве примера рассмотрим рисунок:

Заметим, что по определению четырехугольник АВСD является вписанным в окружность, центр которой находится в точке О. Четырехугольник АЕСD нельзя назвать вписанным, так как его вершина Е не расположена на окружности.

В качестве доказательства рассмотрим треугольник АВС. Построим серединные перпендикуляры к сторонам рассматриваемого треугольника. Эти прямые имеют точку пересечения, совпадающую с центром окружности О. Соединим ее с точками А, В, С.

Точка О расположена на одинаковом расстоянии от А, В и С:

ОА = ОВ = ОС

Тогда окружность с центром О пересекает каждую из вершин построенного треугольника. В результате эта окружность описана около треугольника АВС.

Если предположить обратное, то центры описанных окружностей будут находиться на одинаковом расстоянии от вершин вписанного треугольника. Радиус каждой из таких окружностей совпадет с расстоянием от точки О, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, до вершин. В результате рассматриваемые окружности совпадают.

В качестве примера рассмотрим следующий рисунок:

Приведем пример вписанного четырехугольника ABCD:

В данном случае:

\(\angle В = ½ \smile АDС\)

\(\angle D = ½ \smile АВС\)

\(\angle В + \angle D = ½ \smile АDС + ½ \smile АВС = ½ ( \smile АDС + \smile АВС)\)

\(\smile АDС + \smile АВС = 360\circ\)

\(\angle В + \angle D = 1/2\times 360\circ = 180\circ\)

Обратное утверждение в математике звучит так: когда в четырехугольнике противоположные углы в сумме составляют 180°, около него можно описать окружность.

Окружность, которая описана около треугольника, обладает следующими свойствами:

1. Вокруг какого-либо треугольника допустимо описать окружность, причем не более одной.
2. Если около прямоугольного треугольника описана окружность, то ее центр расположен на середине гипотенузы.
3. Радиус описанной около треугольника окружности определяется по формулам:

\(R=\frac{abc}{4S}\)

\(R=\frac{AB}{2\sin \angle C}=\frac{AC}{2\sin \angle B}=\frac{BC}{2\sin \angle A}\).

Окружность, которая описана около четырехугольника, обладает следующими свойствами:

1. Вокруг какого-то четырехугольника допустимо описать окружность, когда его противоположные углы в сумме составляют 180°.
2. Результат умножения диагоналей вписанного четырехугольника равен сумме произведений противоположных сторон.
3. Правило Брахмагупты для расчета площади вписанного четырехугольника:

\(S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\).

Свойства углов

 Вписанные углы обладают следующими свойствами:

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на аналогичную дугу: \(\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC\)
3. Если вписанные углы опираются на одинаковую дугу, то данные углы являются равными.
4. Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то его градусная мера составляет 90°.
5. Каждая из пар вписанных углов, опирающихся на одинаковую хорду и имеющих вершины, расположенные с разных сторон от хорды, в сумме дают 180°.

Главное свойство (признак) заключается в том, что описанный угол равен половине разности дуг, которые заключены между сторонами этого треугольника:

\(\angle ACB = ½ (\smile АMB - \smile АLB)\)

Примеры задач на понятия вписанной и описанной окружности