Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для вычисления

Предположим, что функции y = f₁(x) и y = f₂(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b]. При этом f₁(x) ≤ f₂(x) для любого значения x из [a;b].

Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f₁(x) и y = f₂(x) рассчитывают по формуле: 

\(S(G)=\int_a^b(f_2(x)-f_1(x))dx\)

Тот же алгоритм расчета проводим, если фигура ограничена линиями y = c, y = d, x = g₁(y) и g₂(y): 

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}S(G)=\int_c^d(g_2(y)-g_1(y))dy\)

Доказательство

Для этого рассмотрим три случая расположения фигуры.

Первый случай

\(\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\leq f_2\left(x\right),\\f_1\left(x\right)\geq0,\\f_2\left(x\right)\geq0.\end{array}\right.\)

Здесь обе функции положительны. Если сложить площадь изначально данной фигуры G и площадь криволинейной трапеции G₁, то общая S будет равна G₂. Чтобы найти G, надо из G₂ отнять G₁.

Вследствие этого \(S\left(G\right)=\int_a^bf_2\left(x\right)dx-\int_a^bf_1\left(x\right)dx=\int_a^b\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx\)

Второй случай

\(\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\leq f_2\left(x\right),\\f_1\left(x\right)\leq0,\\f_2\left(x\right)\geq0.\end{array}\right.\)

Здесь следует применить уравнение: 

\(S\left(G\right)=S\left(G_2\right)+S\left(G_1\right)=\int_a^bf_2\left(x\right)dx+\left(-\int_a^bf_1\left(x\right)dx\right)=\int_a^b\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx\)

Третий случай

\(\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\leq f_2\left(x\right),\\f_1\left(x\right)\leq0,\\f_2\left(x\right)\leq0.\end{array}\right.\)

В данной ситуации формула приобретает следующее значение: 

\(S\left(G\right)=S\left(G_1\right)+S\left(G_2\right)=\int_a^bf_1\left(x\right)dx-\left(-\int_a^bf_2\left(x\right)dx\right)=\int_a^b\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx\)

Общий случай

Предположим, что функции y = f₁(x) и f2(x) пересекают ось Ox. Обозначим точки пересечения x_i, i = 1, 2, ..., n - 1. Они разбивают отрезок [a; b] на n частей [x_{i - 1}; x_i], i = 1, 2, ..., n, где a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_{n - 1} < x_n = b. Фигуру G можно представить объединением фигур G_i, i = 1, 2, ..., n. G_i попадает под один из представленных выше случаев.

Вследствие этого S можно вычислить так: 

\(S\left(G_i\right)=\int_{xi-1}^{xi}\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx,\;i=1,\;2,\;...,\;n\)

Из этого следует, что 

\(S\left(G\right)=\sum_{i=1}^nS\left(G_i\right)=\sum_{i=1}^n\int_{xi-1}^{xi}\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx=\int_{x0}^{xn}\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx=\int_a^b\left(f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right)dx\)

Что и следовало доказать.

Примеры решения задач

Задача №1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой \(y=-x^2+6x-5\), и прямыми \(y=-\frac13x-\frac12,\;x=1,\;x=4.\)

Решение: На отрезке [1;4] график параболы выше заданной прямой. Для нахождения площади возьмем формулу Ньютона-Лейбница:

 \(S\left(G\right)=\int_1^4\left(-x^2+6x-5-\left(-\frac13x-\frac12\right)\right)dx=\int_1^4\left(-x^2+\frac{19}3x-\frac92\right)dx=\left(-\frac13x^3+\frac{19}6x^2-\frac92x\right)_1^4=-\frac13\times4^3+\frac{16}9\times4^2-\frac92\times4-\left(-\frac13\times1^3+\frac{19}6\times1^2-\frac92\times1\right)=-\frac{63}3+\frac{152}3-18+\frac13-\frac{19}6+\frac92=13\)

Ответ: 13 см².

Задача №2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=\sqrt{x+2},\;y=x,\;x=7\).

Решение: Абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы \(y=\sqrt{x+2}\) ограничивает заданную фигуру.

Найдем S с помощью формулы:

\(x=\sqrt{x+2}\)

ОДЗ: \(x ≥ -2. x^2=\left(\sqrt{x+2}\right)^2\).

Получаем квадратное уравнение: \(x^2-x-2=0\).

Решим его через дискриминант: 

\(D=\left(-1\right)^2-4\times1\times\left(-2\right)=9\)

Вычислим корни: \(x_1=\frac{1+\sqrt9}2=2\in ОДЗ, x_1=\frac{1-\sqrt9}2=-1\not\in\) \(ОДЗ\). Тогда абсцисса точки пересечения – x=2.

Ответ: x=2.

Важность правильного построения графика

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, нужно, в первую очередь, построить правильный чертеж. От него зависит решение задачи. Начинать построение следует с прямых, а затем изображать графики прочих функций. 

Для того, чтобы построить координатную плоскость, можно использовать декартовую систему.

Объясним это на примере. Если мы играем в шахматы, то знаем, что конь ходит на 3 клетки вверх и на 1 вправо. Слон же ходит на одну клетку вверх и на одну вправо или влево. Это зависит от того, какого из двух слонов мы выберем. То же самое в координатной плоскости. Мы имеем оси ОХ и OY, которые пересекаются в точке О. Это и есть начало координат. За единицу длины можно взять, к примеру, одну клетку в тетради или 1 см. Не стоит забывать, что оси в декартовой системе прямые. Придумал данный метод французский математик Рене Декарт.

Предположим, что мы хотим изобразить линию. Тогда нам нужны координаты двух точек. Например, точка А с параметрами [1;1] и точка B [-0,5;-2]. Мы отмечаем эти точки на КП и соединяем их. Получается прямая.

Если фигура ограничена параболой и линией

Рассмотрим пример, в котором фигура ограничена параболой и линией. 

Задача:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y=\frac1x\) и \(y=-x^2+4x-2.\)

Решение:

Для начала определим пределы интегрирования. Для этого вычислим абсциссы точек пересечения линий. Уравним выражения \(\frac1x\) и \(-x^2+4x-2.\) При отличных от нуля значениях x уравнение \(\frac1x=-x^2+4x-2\) соответствует уравнению третьей степени \(-x^3+4x^2-2х-1=0\) с целыми коэффициентами.

Корень уравнения: х = 1. Подставим его в равенство для проверки: \(-1^3+4\times1^2-2\times1-1=0\). Разделим выражение \(-х^3+4х^2-2х-1\) на двучлен x-1.

Получим \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}-х^3+4х^2-2х-1=0\;\Leftrightarrow-\left(х-1\right)\left(х^2-3х-1\right)=0.\)

Из уравнения \(х^2-3х-1=0\) вычисляем корни через дискриминант. 

\(D=\left(-3\right)^2-4\times1\times\left(-1\right)=13\)

Корни: \(х_1=\frac{3+\sqrt{13}}2\approx3,3 и х_2=\frac{3-\sqrt{13}}2\approx-0,3.\)

Фигура G находится на интервале \(х\in\left[1;\frac{3+\sqrt{13}}2\right].\)

Тогда площадь равна:

\(\int_1^\frac{3+\sqrt{13}}2\left(-х^2+4х-2-\frac1х\right)dx=\left(-\frac{x^3}3+2x^2-2x-\ln\;x\right)_1^\frac{3+\sqrt{13}}2=-\frac{\left(\frac{3+\sqrt{13}}2\right)^3}3+2\times\left(\frac{3+\sqrt{13}}2\right)^2-2\times\left(\frac{3+\sqrt{13}}2\right)-\ln\;\frac{3+\sqrt{13}}2-\left(-\frac{1^3}3+2\times1^2-2\times1-\ln\;1\right)=\frac{7+\sqrt{13}}3-\ln\;\frac{3+\sqrt{13}}2\)

Ответ: \(\frac{7+\sqrt{13}}3-\ln\;\frac{3+\sqrt{13}}2\).