Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости

Существует три варианта взаимного расположения двух прямых в пространстве: прямые могут
быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. Изучение этих положений необходимо в начертательной геометрии.

Пересекающиеся прямые

Если две прямые имеют две общие точки, то они совпадают.

На рисунке изображены прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, причем только одна.

Параллельные прямые

На плоскости прямые параллельны, если они не пересекаются. То есть главный признак — это отсутствие общих точек. Однако для параллельности в пространстве этого условия недостаточно.

На рисунке a || b, через них проходит единственная плоскость.

Скрещивающиеся прямые

Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести плоскость, и притом единственную. Возможна также ситуация, когда через две прямые плоскость провести нельзя.

Другими словами, две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости, так как прямые, лежащие в одной плоскости, обязательно будут либо пересекаться, либо параллельны.

Прямые a и b на рисунке скрещиваются. Важно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости. Причем это единственная пара плоскостей.

Доказательство:

Пусть a и b — прямые, b лежит в плоскости π, a пересекает плоскость π в точке A. А не принадлежит прямой b. Используем метод доказательства от противного. Предположим, что прямые a и b лежат в одной плоскости. В этом случае данная плоскость проходит через прямую b и точку А, то есть она совпадает с плоскостью π.
Прямая a не может одновременно находиться в плоскости π и пересекать ее в одной точке, как дано по условию.  Теорема доказана.

Доказательство:

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CЕ.

1. Через точку D можно провести прямую ВD параллельную СЕ.
2. Через пересекающиеся прямые BD и AB можно провести плоскость.
3. Так как прямая CE не лежит в этой плоскости и параллельна прямой BD, то она параллельна и данной плоскости. Эта плоскость единственная.

Теорема доказана.

Полуплоскости. Сонаправленные лучи

Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Параллельные и лежащие в разных полуплоскостях лучи не являются сонаправленными. На рисунке лучи MN и  \(M_1N_1 \)— сонаправленные, а MN и \(M_2N_2, M_1N_1\) и \(M_2N_2\) — параллельны, но не сонаправлены.

Доказательство:

Приведем доказательство для углов, лежащих в разных плоскостях. Изобразим ∠А и \(∠А_1 \)на чертеже.

1. Сонаправленные лучи параллельны ⇒ соответственно параллельны стороны углов. Так как через параллельные прямые можно провести единственную плоскость, проведем через них две плоскости. На сторонах угла А и угла А1 отметим точки С, В и С1, В1 соответственно — так, чтобы \(АС=А_1С_1\) и \(АВ=А_1В_1\). Получившаяся объемная фигура имеет вид треугольной призмы.
2. У полученного четырехугольника \(AВВ_1A_1\) противолежащие стороны AВ и \(A_1В_1\) равны и параллельны по условию. Это значит, что \(AВВ_1A_1\) — параллелограмм. \(AA_1 =ВВ_1, AA_1||ВВ_1\).
3. Аналогично выясним, что \(AСС_1A_1\) — параллелограмм, и \(СС_1=АА_1, СС_1||АА_1\).
4. \(СС_1\) и \(BB_1\) равны и параллельны третьему отрезку \(АА_1\), следовательно: они равны и параллельны между собой, т. е. \(СС_1||BB_1\) и \(СС_1= BB_1\). Значит \(ВСС_1В_1\) — параллелограмм, и из этого получаем: \(ВС=В_1С_1\).
5. Так как \(АВ=А_1В_1, AС =A_1С_1\) и \(СB=С_1B_1\), выясняем, что ΔABС и \(ΔA_1B_1С_1\) равны по трем сторонам, и поэтому  \(А=А_1.\)

Угол между прямыми

Свойство пересекающихся прямых

Если две любые прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, то они образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла. Углом между прямыми называют тот из углов, который не больше любого из трех остальных, очевидно, что он больше 0° и меньше либо равен 90°.

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными заданным скрещивающимся прямым.

Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD равен \(∠А_1СD\) между \(А_1В_1\) и СD, если \(АВ||А_1В_1.\)